공부의 제왕 3회에 나온 수학 잘하는 법: 두번째

공신이 한 얘기 중 두번째 것은 예제에 관한 것이다.

예제라고 이름 붙은 문제는 반드시 풀 수 있어야 한다. -- 이해해서 풀기 어려우면 외워라

"예제를 외우라"는 건 수학이 너무나 어려워서 도저히 어떻게 해야할지 모르는 하위권 학생들에게 "이렇게라도 해봐라"는 취지에서 얘기한 거라고 생각된다.
공식도 그리 많은 양이 아닌데 예제까지 외우는 건... 솔직히 기억능력을 좀 초과하는 게 아닌가 싶다. 하지만 그렇게 얘기한 취지는 "예제만큼은 딱 보고 기계적으로 풀 수 있어야 한다"는 것이다.

수학 문제는 몇가지 종류로 나눌 수 있겠지만, 예제는 한마디로 말해서 "공식을 그대로 적용할 수 있는 문제"를 일컫는다. 다음과 같은 문제이다.

예제 1) 두 근이 3, -2인 이차방정식 5x² + ax - b = 0 에서 a, b 의 값을 구하여라
예제 2) 직각삼각형의 빗변이 아닌 두 변의 길이가 5, 8 일 때 빗변의 길이는 무엇인가?

보통 공식 하나, 또는 두 개 정도를 이용해서 이 문제를 푼다. 첫번째 문제는 이차방정식 근과 계수와의 관계 공식을 이용하는 문제이고, 두번째 문제는 피타고라스 정리를 그대로 이용하는 문제이다.

예제보다 수준이 높아지면 공식을 한 개 이상 이용하게 되고, 단원을 넘나드는 융합문제가 된다든지, bridge를 이용하는 2단계 풀이가 된다든지... 하여튼 풀이가 복잡한 형태가 된다. 이런 문제들도 조각조각 내 보면, 결국 예제 수준의 문제가 되기 때문에 예제를 완벽하게 풀어내는 것이 중요하다.

예제를 통해서 해야하는 연습은 무엇인가?

1. 공식에 나온 문자를 네모칸(blank) 이라고 생각하는 연습을 한다.
2. 공식을 "양쪽 방향"으로 자유롭게 활용하는 연습을 한다.
3. "발견법"을 연습한다.

하나하나 자세히 얘기하려면 얘기가 너무 길어지니까 간단하게 짚고 넘어가도록 하자.


1. 공식에 나온 문자를 네모칸(blank) 이라고 생각하는 연습을 한다.

앞의 글에서 얘기했던 이차방정식 근과 계수와의 관계를 보자.
"두 근을 알파, 베타라고 할 때 알파 + 베타 = -b/a, 알파 x 베타 = c/a 이다"
이것이 공식이다. 여기서 "알파", "베타", "a", "b", "c", 이 다섯개의 문자는 모두 문제에서 어떤 숫자 또는 문제에서 요구하는 미지수로 표현된다. 각 문제에 주어진 숫자 또는 미지수를 바로 이 다섯개의 문자에 "대입"해야 문제는 풀린다. 바로 이 "대입"의 과정은, 머리 속으로 공식에 있는 문자를 네모칸 (blank) 이라고 상상하고, 그 네모칸 속에 숫자/미지수를 집어넣는 과정인 것이다.

수학을 잘 하는 학생은 이게 당연한 과정이라 생각하고, 뭐 이리 복잡하게 써놨나... 할지 모르겠지만, 의외로 많은 학생들은 문자를 blank로 상상하는 능력이 약한 게 사실이다.
그래서 공식 따로 문제 따로인 것이다. 바로 앞에서 공식을 외웠고, 그 공식을 이용하는 문제를 바로 풀어도 쩔쩔매거나 더듬더듬 하는 것은 "문자를 blank로 보는 훈련"이 부족해서 그렇다고 볼 수밖에 없다.
따라서 예제를 꾸준히 연습해서, 막힘없이 술술 풀면서 공식의 문자에 그 문제에 나온 숫자나 미지수를 대입하는 훈련을 할 필요가 있다.


2. 공식을 "양쪽 방향"으로 자유롭게 활용하는 연습을 한다.

예를 들어 [3x - 2 = 16] 이런 문제가 있으면, x = 6 이라는 답을 낼 수 있다.
이제 똑같은 문제인데, [ax - 2 = 16의 해가 6이다. a의 값은?] 이런 문제가 나오면...

이게 "양쪽 방향"의 한 예이다. 똑같은 문제이지만, x를 구해야 하는지, a를 구해야 하는지에 따라 난이도가 조금 차이가 난다.

공식도 보통 이렇게 나온다. 명제로 표현하면, p <=> q 꼴.
즉, "[p이면 q이다]도 참이고, [q이면 p이다]도 참이다" 는 명제가 된다. 피타고라스 정리를 예로 들면,
1) "직각삼각형이면 (p) 두변 제곱의 합 = 빗변의 제곱이다 (q)" 이것도 참이고,
2) "두변 제곱의 합 = 빗변의 제곱이면 (q) 그 삼각형은 직각삼각형이다 (p)" 가 되는 것이다.

보통 공식을 한쪽 방향으로만 외우기 때문에 1)번 공식을 이용한 문제가 나오면 쉽게 푸는 학생도, 2)번 공식을 이용한 문제에서는 헤매기도 한다. 똑같은 공식이지만, 자신에게 좀더 "익숙한 방향"이 있는 것이다. 뒤집어 말하면, 익숙하지 않은 방향은 자신에게 약점인 셈이고, 그 약점을 제거하기 위한 연습을 예제를 통해 해야한다는 것이다.


3. "발견법"을 연습한다.

그렇게 해서 예제를 완벽하기 풀 수 있으면 되는가? 당연히 예제만 잘 푼다고 수학 100점을 받을 수 있는 건 아니다. 하지만 70점 정도는 받을 수 있다고 본다.
이제 고등학교 수학에서 70점, 80점 정도 받는 학생들의 최대 고민에 대해 얘기해보자.

이 정도 수준이면 고등학교 수학의 복잡한 계산은 다 한다 (인수분해, 문자의 정리 등). 공식도 대부분 머리 속에 있고, 예제 문제도 곧잘 풀어낸다. 그렇다면 넘어야할 최대 장벽은 무엇인가?
"문제를 봤을 때 무슨 공식을 이용해서 풀어야 할 것인가?" 이 생각이 떠오르지 않는다는 것이다. 흔히들 말하는 "손도 못대는 문제"이다. 이 문제들을 풀어야 90점, 100점으로 도약할텐데, 예제 수준의 문제만 풀어서는 80점을 넘기 힘들다.

이런 학생들이 손도 못대는 문제의 해답을 보면? 술술 이해가 된다. 당연히 그정도 실력은 갖추고 있기에 해답을 보면 이 단계 다음에 저 단계로 가고, 그 다음 저 단계로 가고... 잘 이해가 된다. 하지만 비슷한 문제를 다음에 풀면... 또 여전히 손도 못댄다...... 이런 경험은 누구나 해 봤으리라 생각한다.

결국 문제를 보고, 어떤 공식을 이용해서 풀어야 할지를 "발견"해야하고, 어떻게 풀이를 시작해야 할지를 "발견"해야 한다. 이것 "발견법"이 머리 속에 정리되어 있어야 수학에서 고득점을 할 수가 있다.

예제를 이용한 발견법 훈련에 대해 간단히 얘기하면, 각 예제를 풀 때마다 "하필 그 공식을 이용하는 이유가 무엇인가"에 대해 스스로 정당화를 시키는 훈련을 하라는 것이다.
흔히들, 바로 앞에서 나온 공식이니까 별 생각없이 그 공식을 이용해서 문제를 푼다. 이건 계산 훈련에 불과하고 앞서 언급한 1, 2번 훈련만 할 수 있을 뿐이다. 발견법 훈련까지 하려면, "이 문제의 어떤 조건 때문에 나는 이 공식을 이용해서 푼다"라고 각 문제마다 그 이유를 써 놓든지 따로 정리하든지, 하여튼 내가 그 공식을 이용하는 이유를 정당화하는 훈련을 해야 한다.

예를 들어보자. 문제가 "이차방정식 어쩌고 저쩌고.... 실수 계수 a, b .... 어쩌고 저쩌고...." 이렇게 나오면. 저 "실수"라는 말에 주목해서 판별식, 복소수의 상등, 이런 것들을 쓰지 않을까 하는 생각이 머리 속에 딱 떠올라야 한다. 또 "어쩌고 저쩌고.... 양수 a, b .... 최소값....." 이런 식의 문제가 나오면 고등학교 수학에서 "양수 조건"인 공식은 몇 개 없다. 그 중에 부등식(최대/최소는 결국 부등식 문제이다)과 관련된 것은 [산술평균 >= 기하평균] 이 공식이 거의 유일하다. 이처럼 문제에 나온 조건 하나하나에 주목해서 그것과 관련된 공식을 연관짓고, 그 공식을 이용해서 이 문제를 풀어야하는 이유를 정당화해나가는 훈련, 이것이 바로 발견법 훈련인 것이다.

생각해보라. 수능에서 100점 받는 학생이나, 80점 받는 학생이나 똑같은 문제를 받는다. 100점 받는 학생은 똑같은 문제에서 80점 받는 학생이 그냥 지나쳐버린 그 무언가를 찾아내서, 그런 조건이 나오면 이러이러한 방법을 많이 쓰더라 하는 것이 머리 속에 정리되어 있는 학생이다. 그것이 머리 속에 정리되어 있으려면 평소에 문제 하나하나마다 이 "발견법"을 연습해야 하는 것이다.